Wie findet man acht Richtige aus elf?

Reise in elf Dimensionen

Nützliche Hinweise kommen aus der Geometrie. Allerdings muss man sich dafür in Raum elf begeben und das wirkt zumindest beim ersten Besuch etwas verwirrend. Ein Punkt in diesem Raum ist nichts anderes als eine Folge von Zahlen (“Vektoren”) der Länge 11. Jede bewährte Lösung für unseren seltsamen Test ist also ein Vektor von elf, wobei jedes Element 0 oder 1 ist.

In unserem vertrauten dreidimensionalen Raum bilden acht Vektoren mit 0- oder 1-Komponenten einen Würfel. Dementsprechend ist die verständliche Prüfungslösung 2048 Quadrat des “Einheitswürfels im elfdimensionalen Raum”. Wenn sich zwei Ecken eines normalen Würfels in denselben Koordinaten unterscheiden, sind sie durch eine Kante verbunden. Dies sollte auch für elfdimensionale Einheitswürfel gelten. Nur hier verlassen die elf Kanten jeden Scheitelpunkt.

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Um sich in diesem Raum besser zurechtzufinden, schlagen sie so etwas wie das Messen von Entfernungen (“Meter”) vor. Der Abstand zwischen zwei Ecken eines Einheitswürfels ist definiert als die Anzahl der Kanten, die Sie überqueren müssen, um von einer Ecke zur anderen zu gelangen – und zwar auf dem kürzesten Weg. Sie ist gleich der Anzahl der Koordinaten, bei denen alle elf Vektoren unterschiedlich sind. Sie wird auch „Hamming-Distanz“ genannt, nach dem Mathematiker Richard Wesley Hamming (1915–1998), der das Konzept der Distanz verwendete, um fehlerkorrigierende Codierungen zu erstellen. An einem bekannteren Ort, insbesondere im Schachbrettmuster von Downtown Manhattan, sind solche Entfernungen als “Taxifahrermetrik” bekannt: Die Entfernung von A nach B ist keine lineare Entfernung, sondern eine Anzahl von Fahrten von Kreuzung zu Kreuzung . Welche Sie im Straßennetz abdecken müssen.

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Wenn wir einen Zähler haben, können wir auch über den Ball sprechen. Wie in der bekannten Geometrie steht die Kugel im Mittelpunkt Und Radius Das stimmt. Menge aller Punkte durch Maximale Entfernung Das stimmt. Ja. Achten Sie nicht darauf, dass der Ball im Messgerät des Taxifahrers wie eine Ecke aussieht. Und in einem 11-dimensionalen Würfel kann man sich keine Kugel vorstellen. Selbst wenn es in den dreidimensionalen Raum gezeichnet wird, macht die schiere Anzahl von Punkten die Dinge sehr verwirrend. Um wenigstens einen Eindruck zu vermitteln, habe ich mich im Bild auf sieben statt elf gesetzt:

Oph Christoph Pöppe (Einzelheiten)

Platzhalter_MU_1 | Im Gegensatz zu einem normalen Raum (in zwei Dimensionen: ein Kreis) sind die Kugeln in einem Taxameter eines Taxifahrers quadratisch, wo sie sich nahtlos einfügen. Diese Kugeln (blau) mit 2 Radien können so angeordnet werden, dass kein Punkt des Quadratgitters unberührt bleibt. Es reicht aus, das gezeichnete Muster praktisch fortzusetzen.

Warum all das Gerede über quadratische Kugeln in elf Dimensionen? Die Betrachtung der Aufgabe, die minimale Menge möglicher Lösungen zu finden, stellt sicher, dass es acht richtige Antworten aus einer neuen Perspektive gibt. Ziel ist es, die elfdimensionalen Einheitswürfel mit möglichst wenigen Kreisen mit 3 Radien zu überdecken. Warum Radius 3? Befindet sich der der richtigen Lösung entsprechende unbekannte Winkel des Würfels in einem solchen Raum, so weicht der Kugelmittelpunkt an den letzten drei Stellen von dieser Ecke ab, so dass er als Lösung angenommen wird. Aber da wir die richtige Lösung nicht kennen, müssen wir sicherstellen, dass jede Ecke des Einheitswürfels innerhalb von drei solchen Kreisen liegt.

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Bei Taxifahrermessungen ist die Aufgabe, ganz Manhattan mit Kugeln zu überziehen, überraschend einfach. So könnte man auf die Idee kommen, den Raum so oder so symmetrisch auf einem Einheitswürfel anzuordnen. Das scheitert.

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